отношение

        ОТНОШЕНИЕ — множество упорядоченных п-ок индивидов (где п > 1), т.е. двоек, троек и т.д. Число п называется «местностью», или «арностью», О. и, соответственно, говорят о n-местном (п-арном) О. Так, например, двуместное О. называют бинарным О., трехместное — тернарным О. и т.д. Одноместное О. на некотором множестве представляет собой подмножество этого множества и называется свойством.

        В логике (в языке исчисления предикатов) к типу нелогических терминов, представляющих то, что может предицироваться предметам (т.е. соотноситься с ними), относятся знаки свойств и О., которые называют преди-каторами. Термины, представляющие свойства (напр., «красный», «холодный», «электропроводный»), являются одноместными предикаторами, а термины, представляющие О. между предметами (напр., «меньше, «южнее», «находиться между») — многоместными предика-торами. В качестве значений одноместного предикатора, представляющего некоторое свойство, можно рассматривать множество индивидов, обладающих этим свойством. Значением многоместного предикатора можно считать множество, элементами которого являются пары, тройки и т.д. индивидов, находящихся в данном О. Напр., значением предикатора «южнее» является множество всех таких пар географических точек, первая из которых южнее второй (пара Анапа—Москва будет принадлежать этому множеству, а пара Мурманск— Санкт-Петербург — нет).

        Однако поскольку каждый знак имеет кроме значения еще и смысл, то, следуя Г. Фреге, в логике принимается, что смыслом предикатора является его истинное значение (истинность или ложность). В связи с этим можно говорить об О. в интенсиональном и экстенсиональном понимании, когда в первом случае под О. имеют в виду пропозициональную функцию (в терминологии Рассела) или концепт (в терминологии А. Черча), т.е. функцию, определенную на множестве n-ок индивидов (представляющих О ), область значений которой состоит исключительно из истинностных значений. При экстенсиональном понимании О. обычно отождествляют со значением соответствующего и-местного предикатора.

        Формально вместо «пара индивидов х,у является элементом отношения R» обычно пишется (x,y)eR, что, в свою очередь, часто записывается как xRy (читается: «х находится в отношении R к у» или «отношение R имеет место между х и у»). «Областью определения» (левой областью) называют множество всех первых элементов пар, принадлежащих к R; «множеством значений» (правой областью, образом, противообластью, обратной областью) R является множество вторых элементов этих пар; сумму обеих областей называют «полем» отношения R.

        Бинарное отношение R является «рефлексивным», если xRx для любого х из поля отношения R; «симметричным», если из xRy следует yRx; «транзитивным», если из xRy и yRz следует xRz. Примеры рефлексивных О.: «быть похожим на», «быть не старше»; нерефлексивных О.: «быть братом», «быть старше»; симметричных отношений: «быть одинаковым с», «быть родственником»; транзитивных отношений: О. < на множестве целых чисел (последнее О. еще и рефлексивно, но не симметрично). Бинарное рефлексивное, симметричное и транзитивное О. называется О. эквивалентности.

        Частным случаем О. являются и функции. В этом случае для всякого х существует ровно один элемент у, для которого справедливо xRy. Тем самым каждому элементу х рассматриваемого множества сопоставляется некоторый элемент у, определенный этим условием.

        В.Л. Васюков

        Лит.: Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960; Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М., 1994.